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关于卡尔·门格尔

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关于卡尔·门格尔

卡尔·门格尔从1946年到1971年在威尼斯人平台数学系任教, 影响了很多学生, 各位教职员工, 和他一生的朋友. 被认为是二十世纪最优秀的数学家之一, 他对量纲理论领域做出了重大贡献, 概率, 经济学, 道德, 几何, 和微积分.

由Greg Fasshauer编译

报价

“不大约, dass - bei größerer在数学方法上的数学模型的数学模型, 阿贝尔·韦格斯，德国，德国，德国，德国，德国."
卡尔·门格尔

(并不是说, 如果有人能更广泛地传播对数学方法的见解, 这必然会导致人们说出比今天更有智慧的话, 但毫无疑问，愚蠢的话会少得多.]

主要的日期

1902出生在维也纳
1920–1924Studied at the University of Vienna; Ph.D. 在数学方面
1925–1927阿姆斯特丹大学讲解员
1927–1936维也纳大学的几何教授
1930–1931哈佛大学和赖斯研究所客座讲师
1931–1937创始人 数学的基本原理
1937–1946的创始人 数学学术讨论会报告，第二系列，和 圣母大学数学讲座
1946–1971芝加哥伊利诺伊理工学院数学教授
1951巴黎索邦大学客座讲师
1961欧洲几所大学客座讲师
1964亚利桑那大学和维也纳福特研究所客座教授
1968安卡拉中东技术大学客座教授
1971芝加哥大学名誉教授
1975奥地利科学与艺术一等荣誉十字勋章
1983伊利诺伊理工学院人文文学与科学博士
1985死于芝加哥附近的高地公园

传记

卡尔·门格尔是二十世纪最杰出的数学家之一. 马里奥·邦吉在评论门格尔的论文集时说:

作者的出版物跨越半个世纪，涵盖了惊人的各种领域, 从逻辑学到集合论，从几何学到分析学，从数学教学法到经济学，再到格列佛对数学的兴趣... 这个选择应该是基金会工作人员感兴趣的, 数学老师, 哲学家, 还有那些怀恋数学家时代的人, 就像哲学家, 对所有概念性问题都感兴趣.

卡尔·门格尔1902年1月13日出生于维也纳. 他的父亲是著名的奥地利经济学家 卡尔·门格尔 (1840-1921)，他是边际效用理论的创始人之一. 他的母亲赫敏·安德曼, 谁比她丈夫小30岁, 是一位对音乐也感兴趣的著名小说家吗.

卡尔年轻时就发掘了他的文学天赋. 事实上, 1920年，门格尔在维也纳Döblinger体育馆的最后一年，在那里他是海因里希·施尼茨勒的同学，他的父亲 亚瑟 他是一个著名的剧作家(另外两个同学是未来的诺贝尔奖得主 沃尔夫冈·泡利 和 理查德·库恩). 在1920年到1931年之间，亚瑟·施尼茨勒的日记中有几条关于门格尔的记录. 对于门格尔的写作，没有一种评价是很好的. 事实上，从1920年到1923年，门格尔一直在创作一部关于杜撰的教皇贞德的戏剧. 施尼茨勒将门格尔的写作称为 不成功，不有利以及门格尔的评论 没有文学抱负 除了想完成这部剧. 施尼茨勒, 除了注意到门格尔的天才和天赋(在数学和物理方面), 指的是门格尔这个人 不太正常, a 奇怪的家伙, a 妄自尊大的人, 自杀.

门格尔于1920年秋天进入维也纳大学学习物理学. 然而，当他听到 汉斯·哈恩 课上 Neueres ber den Kurvenbegriff (关于曲线的新概念)1921年3月，他的兴趣转向了数学. 在前面的讲座中，哈恩指出，当时没有令人满意的曲线定义. 他特别介绍了失败的尝试 Georg康托尔, 卡米尔·乔丹 和 朱塞佩皮亚诺. 此外，诸如 费利克斯豪斯多夫 和 路德维希Bieberbach 宣称这个问题实际上是无法解决的. 几天之内门格尔, 一个对问题没有其他数学背景知识的本科生 哈恩 他想到了一个解决办法，并把它拿给哈恩看. 门格尔对这个话题的兴趣导致了他在曲线和维度理论方面的工作.

门格尔在潮湿的房间里工作到深夜，染上了严重的肺结核. 他被送到阿夫伦茨(施蒂利亚)的一家疗养院。, 1921年秋至1923年4月，他在奥地利阿尔卑斯山疗养期间完成了大部分基础工作. 在此期间，他的父母都去世了.

与此同时，年轻的俄罗斯数学家门格尔正在构思他的想法 帕维尔Urysohn (生于1898年，1924年死于溺水事故)也在1921年和1922年构建了维度理论. 根据 乔治寺庙:

门格尔的定义无疑比乌尔索恩的定义更简单、更普遍, 优先级的问题是次要的.

门格尔从疗养院回来后，继续在哈恩的指导下学习, 并于1924年获得博士学位.

1925年3月，门格尔去阿姆斯特丹与这位著名的数学家一起工作 L.E.J. 了这. 在阿姆斯特丹，门格尔继续研究曲线理论和维数理论, 也获得了对逻辑和数学基础的洞察力. 特别是，他接触到了布劳威尔对科学和数学的直觉主义解释. 维特尔Hurewicz, 他曾在维也纳门格尔手下研究维度理论, 1926年春天跟随他来到阿姆斯特丹. 门格尔在1926年秋天获得居留权后，回到了维也纳大学(在与布劳维尔争吵了两年之后)，并被任命为教授 非凡几何学 1927年2月(取代 库尔特Reidemeister他已经离开，到Königsberg坐了下来。.

1927年秋天，卡尔·门格尔成为了著名的 维也纳圆. 这个由大约36个哲学家组成的团体, 逻辑学家, 数学家, 以及自然和社会科学家是由 莫里茨重, 奥托纽赖特, 汉斯·哈恩 1929年，他发表了一篇题为 科学的世界观. 维也纳圈. 学术圈的会议是在数学和物理研究所所在的大楼一楼一间相当昏暗的房间里举行的, 在玻尔兹曼方程中. 最初的成员包括

  • 鲁道夫Carnap (哲学家, 1931年离开维也纳前往布拉格, 1936年移居美国, 他开始的地方 芝加哥圆 (芝加哥大学)
  • 赫伯特Feigl 哲学家，学生 重的1931年移居美国，创立了明尼苏达科学哲学中心。
  • 菲利普·弗兰克 (数学家，1938年进入哈佛大学)
  • 库尔特·哥德尔 (数学家，哈恩的学生，1938年去了普林斯顿大学)
  • 汉斯·哈恩 他是维也纳大学数学教授，也是门格尔的博士.D. thesis advisor; died of complications related to cancer surgery July 24, 1934年，35岁时在维也纳)
  • 维克多卡夫 (哲学家，为将伦理学确立为一门科学作出了贡献)
  • 卡尔·门格尔
  • 奥托纽赖特 (对逻辑、光学、经济价值理论感兴趣的哲学家)
  • 西奥多·Radakovic (维也纳理工学院数学助理教授, 哈恩以前的学生)
  • 库尔特Reidemeister (professor of 几何 at the University of Vienna; departed in 1927)
  • 莫里茨重 维也纳大学哲学教授, one of the main forces behind the 维也纳圆; was shot dead by a student in 1936)
  • 弗里德里希Waismann (在 Schlick)

包括一些或多或少的常客

该圈子还受益于与

维也纳学派成员所做的工作可以被认为是20世纪最重要和最有影响力的思想之一. 然而，当时的政治事件严重阻碍了学术上的成功. 事实上，维也纳圆环找到了一个悲惨的结局 联合 1938年3月.

与维也纳圈平行，门格尔开始了一个 数学专题座谈会 1928年在维也纳大学任教. 包括一些参与者和经常演讲的人

会议记录(从1928/29到1935/36)由门格尔编辑和出版(在库尔特哥德尔的帮助下), Georg诺贝尔, 亚伯拉罕瓦尔德, 和弗朗茨·阿尔特) 数学的基本原理. 这个论文集包含了门格尔开创性的论文, 哥德尔, 好地, 瓦尔德, 维纳, 约翰·冯·诺伊曼, 还有很多其他的. 特别是, 1934年3月，施莱辛格对平衡方程的讨论和沃尔德的回应深刻地影响了数理经济学领域, 就像门格尔说的那样

经济学家简单公式化的时代结束了, 不用担心解的存在性或唯一性.

另一篇具有根本重要性的论文是由 约翰·冯·诺伊曼他对布劳尔的理论进行了概括 不动点定理.

卡尔·门格尔于1930/31学年在美国访问了哈佛大学和休斯顿的赖斯研究所, 德州. 在这次访问中，他会见了当时许多著名的美国数学家和哲学家. In [快速眼动, Ch. 他回忆起他与乔治·大卫·伯克霍夫的会面, 马斯顿莫尔斯, 亨利·莫里斯·谢弗, 保罗·韦斯, 诺伯特•维纳, 爱德华·亨廷顿, Alfred Whitehead, 威拉德·范·奥曼·奎因, 珀西布里奇曼, 约瑟夫·熊彼特(经济学家), 查尔斯W. 莱斯特·莫里斯. 福特和芝加哥的埃利亚基姆·黑斯廷斯·摩尔. 门格尔和亨利·莫里斯·谢弗一起去远足, 以及诺伯特·维纳, 在此期间，他们进行了长时间的讨论. 在哲学家中，给他印象最深的是珀西·布里奇曼，他把布里奇曼称为 马赫的现代转世. 卡尔·门格尔也非常尊重E. H. 摩尔，他说[快速眼动, p.170]

如果有美国数学之父的话，那肯定是他 摩尔的老师 伯克霍夫，奥斯瓦尔德·凡勃伦，罗伯特·李·摩尔以及大多数同龄的美国数学家，他们后来都很杰出.

门格尔通过Georg诺贝尔与他的学生和维也纳Kolloquium保持联系, 他在1931年初写信告诉他库尔特的开创性工作哥德尔 (神). 门格尔立即中断了他在赖斯研究所的系列讲座，报告了哥德尔的发现. 门格尔说[快速眼动, p.203]

因此，赖斯研究所的数学家可能是美国第一批对逻辑和数学的这一转折点感到惊奇的人.

1936年，门格尔参加了在奥斯陆举行的国际数学大会, 并被选为副总裁之一. 他向朋友和同事描述了维也纳日益恶化的局势. 此后不久，他在印第安纳州圣母大学获得了一个职位.

1937年，门格尔去了美国，接受了巴黎圣母院的职位. 最初，门格尔只是要求延长维也纳大学的假期, 但战争结束后，他没有被邀请回来. 卡尔·西格蒙德写道:

战后, 重建被炸毁的国家歌剧院是民主的新奥地利最优先考虑的事情. 男人喜欢 ... 然而，门格尔被礼貌地告知，维也纳大学没有他们的容身之地.

哥德尔在巴黎圣母院拜访了门格尔，但门格尔没能说服他留下来. 在巴黎圣母院，门格尔开始攻读博士学位.D. 数学系的程序(与 阿瑟·米尔格拉姆, 保罗胡椒, 约翰•凯利, 埃米尔阿廷，参见[跳])，他组织了一系列的 圣母大学数学讲座 (第二卷，埃米尔·阿廷的 伽罗瓦理论是相当有名的). 门格尔也开了一家 数学专题座谈会 (以维也纳的会议为蓝本)，并出版了相关的 数学研讨会报告，第二系列 是在1938年到1946年间出现的. 然而, 二战影响了美国的学术生活, 数学研讨会的成功是有限的.

1935年，卡尔·门格尔与精算学生希尔达·阿克塞米特结婚. 他们有4个孩子. 小卡尔.罗斯玛丽和弗雷德是1937年出生的双胞胎，伊芙出生于1942年.

1946年，卡尔·门格尔被数学系主任邀请加入新成立的伊利诺伊理工学院 莱斯特R. 福特1931年门格尔访问赖斯研究所时，他就在那里. 就在几年前 爱德华·赫勒 也曾被召入印度理工学院，但他在1943年上任后不久就去世了.

鲁道夫Carnap 其他人已经开始 芝加哥圆 在芝加哥大学任教, 门格尔尽可能多地参与其中, 即使当时还在南本德的巴黎圣母院, 印第安纳州. 卡尔·门格尔在芝加哥度过了他的余生.

在战争年代，门格尔一直积极参与海军军校学员的微积分教学. 这就是为什么他在五六十年代的大部分工作都与数学教育有关的原因之一. 他写了一本微积分教科书，在这本教科书中，他提出了一些数学形式和符号的重大变化，旨在促进基础数学的教学.

他的小册子“你会喜欢几何”被用作IIT几何展览的指南 科学与工业博物馆y 包括门格尔著名的“出租车几何”解释. 在《威尼斯人官网平台》的引言中，门格尔写道:

“不可能，”你说，“几何太无聊了. 它已经死亡和石化了几个世纪.“但是你错了. Geometry is amazing 和 ingenious 和 beautiful 和 profound; 和 most important, 它是活的，在成长. 只要跟随平面图形几何世界的发展就可以了.

也是在20世纪50年代, Menger appeared on local TV 和 radio programs to talk about mathematics; appeared several times in the Chicago Tribune as an expert on such topics as why students find math difficult ("Johnny Is Puzzled By the X: That's Why He Hates 数学, 专家说”), 给当地高中科学老师讲几何.

1951年至1952年，门格尔在巴黎索邦大学度过了一个假期, 1963年，他自1937年离开奥地利后第一次回到奥地利. 1968年，他在土耳其安卡拉的中东技术大学担任客座教授. 1971年，他被选为奥地利科学院通讯院士.

1971年，卡尔·门格尔成为印度理工学院名誉教授.

6月2日, 1975, 在印度理工学院的一个典礼上, 奥地利驻芝加哥领事向卡尔·门格尔(当时的名誉教授)颁发奥地利科学与艺术一等荣誉十字勋章。. 门格尔非常高兴, 因为他的父亲在许多年前也获得了奥地利政府的荣誉.

威尼斯人平台于1983年12月授予卡尔·门格尔人文文学与科学博士学位.

卡尔·门格尔热爱音乐和现代建筑. 他从世界各地收集装饰用的瓷砖. 他不喜欢葡萄酒，但喜欢甜酒. 虽然不是素食主义者，但他很少吃肉，尤其是在他生命的最后几年. 但他总是乐于尝试从古巴到埃塞俄比亚的新鲜菜肴. 他喜欢烤苹果. 门格尔喜欢长距离散步, 有时他还会邀请博士生在清晨沿着密歇根湖散步. 门格尔喜欢美国. 他甚至喜欢马克思兄弟.

卡尔·门格尔于10月5日在睡梦中去世, 1985年，在他女儿罗斯玛丽和女婿理查德·吉尔摩位于高地公园的家中, 伊利诺斯州.

一个简短的传记可以在 卡尔·门格尔.

非常有趣 关于卡尔·门格的文章r 是西摩·卡斯写的，由 美国数学学会 (内).

维基百科: 卡尔·门格尔

卡尔·门格尔-1 from00岁诞辰庆典

为了纪念卡尔·门格尔诞辰-1 from00周年, 4月11日至12日举行了一次会议, 2002年维也纳:Mengerfest(由 卡尔·西格蒙德 和奥地利数学学会)，由

  • 乔治·温克勒(Rektor Universität Wien)
  • 彼得·舒斯特尔(Vizepräsident Österreichische德国科学学院)
  • F.R. 麦克莫里斯(印度理工学院应用数学系系主任)
  • Hans Kaiser (Vizerektor, Technische Universität Wien, Vorsitzender ÖMG-L和essektion Wien)
  • Harald Rindler (Vorst和，德国数学研究所，Universität维也纳)
  • 瓦尔特·本茨(汉堡)
  • 安倍Sklar(芝加哥理工学院)
  • 托尼·克里利(米德尔塞克斯大学)
  • 艾伦·莫兰(米德尔塞克斯大学)
  • 路德维希·赖希(Universität格拉茨)
  • 卡尔·西格蒙德(Universität维也纳)
  • 莱斯特·西内查尔(霍利奥克山)
  • 伊恩·詹姆斯(牛津大学)
  • 德克·范达伦(乌得勒支大学)
  • 伯特·施韦泽(麻省大学)

门格尔海绵

也许卡尔·门格尔最受欢迎的创作是所谓的 门格尔海绵 (有时被错误地称为 Sierpinsk我的海绵). 它可以看作是三维模拟的 康托尔集(1D)和 Sierpinski广场 (2D). 门格海绵出现在许多关于分形的现代书籍中.

门格海绵的构造

门格尔海绵

取一个立方体, 把它分成27 = 3 x 3 x 3个大小相等的小立方体，然后把中间的立方体和与它共享面的六个立方体一起移走. 剩下的是8个小角立方体和12个小边立方体将它们连接在一起. 现在，想象一下在剩下的20个立方体上重复这个过程. 再次重复. 一次又一次...

在一个更抽象的设置门格尔海绵也被称为 门格尔通用曲线. 这来自于门格尔的量纲理论.

门格海绵， 由名片制成.

下面的动画显示了在Maple中创建的深度为3的Menger海绵.

卡尔·门格尔的研究领域

  • 曲线理论与维数理论
  • 概率度量
  • 波耶-罗巴切夫斯基几何的新基础
  • 微积分的新方法
  • Multiderivatives
  • 数学与逻辑容忍度基础
  • 道德. 人际关系的正式研究
  • 一般度量空间的几何(凸性). 测地线. 欧几里得集的表征.)
  • 曲率的无坐标处理
  • 几何代数. 定额的晶格. 多种数学结构的综合处理. 二元性
  • 函数代数. 代数系统的互连
  • 变量思想的分析. 分析在科学中的应用理论
  • 分析功能
  • 经济学:概率论引入价值论. 回归法则的逻辑

曲线与量纲理论

在他的书中 Dimensionstheorie (发表于1928年)门格尔给出了抽象集维数的递归定义如下:

一组 S 在笛卡尔空间中(任何维度)是 n维,如果

  1. 的每个点 S 被包含在尽可能小的边界内 S 最多有(n1)维十字路口s; 和
  2. 至少有一点 S 每个足够小的社区的边界至少有一个(n1)维十字路口, (和, 为了启动进程，空集被分配维度为-1.

门格尔在这方面的一个定理指出

每一个 n维可分度量空间拓扑等价于某个泛域的一部分 n-维空间，它又可以被实现为(2)中的紧集n+1)维欧几里德空间.

通用的一维曲线(或者——作为三维空间中的一个紧凑集合——门格尔海绵)如上所示.

这个定理由 Georg诺贝尔 被称为“Menger-Nöbeling嵌入定理”.

1932年，门格尔出版了 Kurventheorie 里面有著名的 n矿热定理:

让 G 是一个图形 A 和 B 两个不相交的 n-顶点元组. 然后要么 G 包含 n 两两不相交 AB-路径(每条路径连接一个点) A 还有一点 B)，或者存在一个小于的集合 n 分隔的顶点 A 和 B.

This theorem was referred to as one of the fundamental theorems in graph theory by Frank Harary; modern graph theorists call it 门格尔定理. 这个定理的历史是门格尔在1981年提出的.

一般度量空间的几何

门格尔是第一个介绍 邻几何中度量空间的定义. 结果被称为 度量几何 由门格尔, 它包括了中间性理论, 抽象度量空间中曲线和曲面的测地线和曲率.

门格尔关于等距嵌套的定理之一是

度量空间 R 可以嵌入希尔伯特空间吗 H 当且仅当 R 是可分离的和每一组 n+1 (n=2,3,4,...(不同的点 R 可以嵌入吗 Rn.

勋伯格 说明了这个定理是如何作为抽象度量空间中正定函数概念的基础的.

长度和变分的一般理论

曲率的无坐标处理

20世纪30年代，门格尔提出了弧度的定义 A 而不参考底层的坐标系.

让 A 是紧致凸度量空间中的弧. 考虑一个三重(q,r,s)的点 A. 的 门格尔曲率 of A 是由三个点的圆周半径的倒数给出的吗. 曲率为零当且仅当其中一个点在另外两个点之间. 的 A在p点处的曲率 现在由门格尔曲率的极限给出，三个点(q,r,s变得任意接近 p.

这些思想后来主要由门格尔的学生扩展到高维流形 亚伯拉罕瓦尔德. 对于这部作品，门格尔说:

这个结果应该使几何学家认识到(与传统观点相反)曲率的基本概念不依赖于坐标, 方程, 参数化, 或者可微假设. 曲率的本质在于凸度量空间的一般概念和这样一个空间中的四重点.

概率度量

将概率概念引入几何的想法也占据了门格尔的思想. 他的动机来自于位置、距离、面积、体积等概念.，所有这些都在实践中受到测量变化的影响. 还有e.g.量子力学表明，即使在理论上，一些测量也必然是不精确的. 1942年，门格尔发表了一篇题为 统计指标. 在这篇笔记中，他解释了如何替换两点之间的数值距离 p 和 q 通过一个函数 Fpq 其价值 Fpq (x) 在实数上 x 被解释为之间的距离的概率 p 和 q 小于 x. 门格尔原本计划与他以前的学生合作 亚伯拉罕瓦尔德 但沃尔德于1950年在印度的一次飞机失事中丧生. 然而，其他的，比如 贝特施魏策尔 (门格尔以前的学生)和 安倍Sklar 我是门格尔的同事, 现为印度理工学院数学名誉教授), 从事这项工作，并发展了现在所谓的理论 概率度量空间.

几何代数

门格尔的所谓 几何代数 起了重要作用 约翰·冯·诺伊曼量子力学的数学基础. 门格尔是最早研究晶格结构的人之一.

双曲几何

在双曲几何中，门格尔建立了一个独立的公理基础, 比, 任何可能的欧几里得几何. 然而，这项工作并没有像他在曲线理论和量纲理论方面的工作那样受到重视.

函数代数

门格尔的书 分析代数 这是他对现有微积分教学文献的经验的直接结果吗. 门格尔发现，分析的基础需要系统化和澄清. 特别是, 他对许多教科书没有适当地强调函数的作用感到困扰. 函数之间没有明确的概念区别 f 以及它的价值 f(x). 而其他函数，比如恒等函数，根本没有起到明确的作用. 特别地，门格尔介绍了多元函数的一个性质，叫做 superassociativity. 今天，具有这种性质的代数结构被称为 门格尔代数. 门格尔代数已经找到了应用, 在其他领域, 在逻辑,, 让门格尔高兴的是, 在几何.

微积分的新方法

卡尔·门格尔喜欢教本科生. 他相信，如果做得好，它会刺激研究. 在20世纪50年代末，他向高中生讲授了这个主题 x是什么??

二战期间，门格尔向未来的海军军官教授微积分. 这段经历使他重新思考微积分的基础. 他出版了这本书 分析代数他还写了自己的微积分书: 微积分. 现代方法. 门格尔写微积分书的原因之一是，他觉得传统的表述这门学科的方式存在严重缺陷. 门格尔寄了这本书的副本给 爱因斯坦他很喜欢这种方法，并对这种澄清符号的尝试表示赞赏. 然而，他建议不要做太多的“大扫除”。. 即使被一些人看好, 大多数人认为这本书对这门学科进行了过于激进的改革, 这个项目失败了. 这让门格尔非常失望.

书中最引人注目(也经常被忽视)的教学创新之一是开发了一个完整的“微型微积分”，它讨论了所有的基本特征, 包括 基本定理，不引入限制.

门格尔的微积分书于2007年再版为多佛版: 亚马逊

分析变量多导数解析函数的思想

数学和逻辑宽容的基础

1951年，门格尔第一个引入了模糊集的概念(他称之为 模糊集). 模糊集合背后的基本思想是用一个元素属于一个集合的概率来代替元素-集合关系. 这个概念后来被“重新发现”，然后引起了很多关注.

经济学

著名的经济学家 奥斯卡Morgenstern 门格尔1934年的论文 《威尼斯人平台》 在劝说中起了主要作用 约翰·冯·诺伊曼 对效用进行正式处理. 这本文集有一整章是关于经济学的. 特别是各个方面的 彼得堡的比赛 是门格尔研究的. 这个游戏是这样的:

有两个玩家， A 和 B. 游戏开始于 B 下一定的赌注 A. 然后抛硬币. 如果头像朝上，那么 B 从 A，游戏结束了. 如果是反面，则再次翻转. 如果第二次是正面，那么 B 从 A，游戏结束. 抛硬币直到第一次出现头像. 如果这发生在 n掷硬币(掷硬币).e.如果是第一个 n-1次投掷都是反面，但是 n那么，掷硬币的结果是正面朝上 B 收到2美元n1 A 游戏结束了. 取决于是否 n=1,2,3,4,..., B 获胜$20 = $1，$21 = $2，$22 = $4，$23 = $8， ... 我该怎么赌? B 愿意做出?

道德

在政治紧张的20世纪30年代，门格尔发现很难专注于数学. 他试图发展一种形式的伦理学概念，这种概念与传统伦理学的关系就像形式逻辑与传统逻辑的关系一样. 更多关于门格尔对伦理学的探索见[利奥].

1934年，门格尔写了一本小书 道德，意志和世界观 (道德, 决定, (《威尼斯人平台》)关于将简单的数学概念应用于伦理问题，并于1974年将其翻译成英文. 门格尔的最后一篇论文是这项工作的延伸.

卡尔·波普尔 关于这本书:

这是为数不多的几本书之一，在这些书中，作者试图摆脱关于伦理学的愚蠢言论.

奥斯卡Morgenstern 后来将门格尔的书作为他和他的同事一起研究博弈论的起点 约翰·冯·诺伊曼.

进一步的阅读

学生

也可以参见卡尔·门格尔的页面 数学家谱计划.

参考

下面是上面引用的参考文献. 其中一些材料被用于编写本文所提供的资料.

门格尔作品的完整参考书目是 在这里.

[-1 from00] 乔治寺庙, 数学百年斯普林格出版社，1981年.

[BKZ] R. 更夫,R. 卡拉贝和L. 枝, 抽象和模式设计, J. 数学. 分析的. :. (13) 1966, 1–7.

(Erg) 卡尔·门格尔:《威尼斯人官网平台》，埃格伯特·迪尔克和 卡尔·西格蒙德, 疯狂时代的精确思想:卡尔·门格尔和他的维也纳数学研讨会，《威尼斯人平台》卷.22 (1), 2000.

(神) 库尔特·哥德尔, Über Vollständigkeit和Widerspruchsfreiheit，[英]3 (1931/32).

【威尼斯人官网平台】卡尔·门格尔 Grundsätze der Volkswirtschaftslehre, 1871.

[跳]阿瑟·J. 希望, 巴黎圣母院的故事:巴黎圣母院-一百年, 圣母大学，1999年.

西摩·卡斯， 卡尔·门格尔，美国的通知. 数学. Soc. (43) 1996, 558-561.

(KT) H.W. 库恩和A.W. 塔克 约翰·冯·诺伊曼对博弈论的研究,牛. 阿米尔-. 数学. Soc. (64) 1958.

(狮子座)R.J. 伦纳德, 伦理学与被排斥的中间:两次世界大战之间维也纳的卡尔·门格尔与社会科学， [89]， 1998, 1-26.

(人) Benoit B. 曼德布洛特《威尼斯人平台》.H. 弗里曼,1982.

[教授]贝特施魏策尔和安倍Sklar， 概率度量空间，北荷兰，1983.

(快速眼动) 卡尔·门格尔:维也纳圈和数学讨论会的回忆，路易斯·戈兰，布莱恩·麦吉尼斯和安倍·斯克拉主编.)，维也纳圈文集卷.20, Kluwer, 1994.

(Schoe) Iso J. 勋伯格, 欧几里得空间由度规变化引起的度量空间及其在希尔伯特空间中的嵌入，《威尼斯人平台》. (38), 1937, 787–793.

(团体) 卡尔·西格蒙德, Musil, Perutz, Broch: 维纳 Literaten和Neigung zur mathematics，《新新闻报》(国际版)，1997年3月8日至9日，页. 49.

(Wien2001) 卡尔·西格蒙德, “赫勒·阿布希德·欧罗巴”-维也纳1938年的《威尼斯人平台》， ausstellungskcatalog, 2001年9月17日至10月20日，维也纳大学.

回忆卡尔·门格尔

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